用 MQL5 表示统计概率分布：pdf/cdf/逆函数全实现

交易者天天和“概率、随机性”打交道。要用统计工具，先得有描述随机变量的“分布类”。本文用 MQL5 把一维统计概率分布封装成类族：每个分布给出概率密度（pdf）、累积分布（cdf）、逆累积（invcdf，分位数）、可靠度（sf）四个函数。这是后面所有统计检验、风险建模的地基。

一、分布是什么，怎么定义

随机变量按取值分连续/离散；描述规律的方式有概率密度函数（pdf）、分布函数（cdf）、逆分布函数（invcdf）、可靠函数（sf）等。市场里很少纯正态，但把经验分布和理论分布（如正态）比对，能判断“偏离程度与性质”——这正是风控第一步。

二、MQL5 没有多继承，怎么办

作者最大挑战是 MQL5 不支持多重继承，所以不肯堆复杂类层次。他大量借鉴《Numerical Recipes》的 C++ 最佳实践，按 MQL5 习惯重写。比如误差函数 erf 抽成 CErf 基类，正态分布类 CNormaldist 继承它复用 erf/erfc。

class CNormaldist : CErf {  // 继承误差函数基类
 public: double mu, sig;           // 均值 μ，标准差 σ
 double pdf(double x){ return (0.39894228/sig)*exp(-0.5*pow((x-mu)/sig,2)); }
 double cdf(double x){ return 0.5*erfc(-0.70710678*(x-mu)/sig); }
 double invcdf(double p){ /* 分位数 */ return -1.4142*sig*inverfc(2.*p)+mu; }
 double sf(double x){ return 1-cdf(x); }
};

三、常用分布类一览

• CNormaldist 正态分布：对称钟形，作基准对照（X~Nor(μ,σ²)）
• CLognormaldist 对数正态：取对数后正态，专治正数（价格、市值）
• CCauchydist 柯西分布：尾部极厚，比正态更易出极端值
• CHypersecdist 双曲正割：类正态但有更胖尾
• CStudenttdist 学生 t：带自由度 ν，ν 小则胖尾明显（继承 CBeta）

四、为什么交易者要自己实现分布类

现成库未必有你要的分布或分位数函数。自己封装成类后，EA 里能直接算“收益落在某区间的概率”“95% VaR 对应的分位数（invcdf(0.05)）”，把统计从论文搬进实盘。CErf 里 28 个切比雪夫系数是精度关键，照搬 Numerical Recipes 即可。

// 柯西分布：没有均值方差，只有位置/尺度参数
double pdf(double x){ return 0.318309886/(sig*(1.0+pow((x-mu)/sig,2))); }
double cdf(double x){ return 0.5 + 0.318309886*atan2(x-mu,sig); }

五、和后续文章的关系

本文是“分布类”地基，下一篇《统计分布在交易者工作中的作用》就在它之上做随机数生成、参数估计、Jarque-Bera/卡方检验。读懂这套类族，后面整条统计链路才能接上。

六、实战：用分布类算 VaR

封装好分布类后，EA 里算风险就一行的事。以正态分布为例，95% 单日 VaR 对应分位数 invcdf(0.05)；若用学生 t（自由度 ν 由样本估），尾部更厚，同一置信度下 VaR 更大、更保守。把‘当前持仓收益序列’喂给 CStudenttdist，再调 invcdf 即得临界回撤，超过就触发减仓。

// 伪代码：用学生 t 算 95% VaR
CStudenttdist dist; dist.setCStudenttdist(nu, 0.0, 1.0);
double var95 = dist.invcdf(0.05);  // 左尾 5% 分位数（负值）
if(currentReturn < var95) ReducePosition();

注意：分布类假设‘样本来自该分布’。金融收益常不严格服从任何理论分布，所以 VaR 只作参考线，别当硬约束；配合压力测试（历史极端情景）才稳。

七、常见坑：别把正态当万能

• 价格类正数用对数正态，直接套正态会得到负价概率，荒谬
• 小样本下学生 t 的 ν 估计不稳，VaR 会跳；样本<30 谨慎用
• 柯西分布没有有限均值/方差，用均值方差类指标会发散
• 切比雪夫系数错一位，erf 精度崩，连带 cdf/invcdf 全偏

八、小结

用 MQL5 把统计分布封装成带 pdf/cdf/invcdf/sf 的类族，是量化交易的“数学地基”。面对 MQL5 无多继承的限制，作者借 Numerical Recipes 的 C++ 实现改写成扁平类层次（CErf 基类被正态等复用）。正态、对数正态、柯西、学生 t 等覆盖从“标准钟形”到“厚尾极端”的需求——选对分布，你的风险模型才不至于睁眼瞎。